第4章：收益与风险的基本计算

上一章解决了一个现实问题：策略发出买卖信号后，订单是否真的能够成交。现在假设成交、费用和分红都已经正确记入账户，我们面对下一道关：怎样判断一项投资究竟好不好？

只看“最后赚了多少”远远不够。假设两个组合都在三年内从 10 万元变成 12 万元：

组合	三年中的大致经历	最终结果
甲	缓慢上涨，最差时从高点回落约 8%	12 万元
乙	一度跌到 5 万元，后来大幅反弹	12 万元

它们的终点一样，但很少有人会认为两者同样好。乙组合在中途可能迫使投资者止损，也可能因为资金需求而在最低点退出；一次偶然的大反弹，还可能掩盖策略长期没有优势。

因此，本章只围绕三个真正有用的问题展开：

1. 钱实际增长了多少，增长速度怎样？
2. 为了得到这些收益，中途承受了多大损失和不确定性？
3. 收益来自策略能力，还是市场本身就在上涨？

收益率、最大回撤、波动率和各种比率，都是为回答这些问题服务的工具，而不是需要孤立背诵的名词。学会这套框架后，我们才能在后续课程中判断一个因子或策略是否真的有价值。下一章将进入公司基本面，理解收益背后的企业经营来源。

钱到底增长了多少

先把价格变化变成可比较的收益率

“赚了 2 万元”对 10 万元账户很重要，对 1000 万元账户则几乎可以忽略。为了比较不同资金规模、不同股价的投资，需要把盈亏除以投入的本金。

假设期初账户价值为 10 万元，期末为 11 万元，期间没有追加或取出资金，那么收益率是：

$$R=\frac{11-10}{10}=10\mathrm{\%}$$

一般地，期初价值为 $V_0$、期末价值为 $V_1$ 时，简单收益率为：

$$R=\frac{V_1}{V_0}-1$$

这里的“价值”不能只理解为股票价格。若持有期间收到分红，分红也是投资者得到的回报；若支付了佣金、印花税或其他成本，就应扣除。第3章强调真实成交和公司行动，原因正在这里：输入账户的现金流若不真实，收益率计算得再精确也没有意义。

对个股，收益要包括股价变化、现金分红以及实际交易成本。对 ETF，则要根据问题选择数据：

• 想知道投资者实际赚了多少，用可成交的市场价格并计入现金分红和交易成本。
• 想判断基金管理得好不好，比较 ETF 的复权净值与跟踪指数。
• 想判断某类市场是否值得配置，研究的是底层指数或资产，而不是 ETF 代码本身。

这三种收益不能混用。指数涨了 10%，不代表某只 ETF 的持有人一定赚到 10%；基金费用、跟踪偏离、折溢价和买卖价差都会造成差异。

多期收益要连乘，因为每天的本金都在变

假设第一天上涨 10%，第二天下跌 10%。把两天收益相加得到 0%，看起来像是不赚不亏。但 100 元会先变成 110 元，再变成 99 元，实际亏损 1%。

原因是第二天的 10% 作用于已经变化的本金。若有 $n$ 期收益 $R_1,R_2,\dots ,R_n$，累计收益应当把每期的增长倍数连乘：

$$R_{total}=\prod _{t=1}^n(1+R_t)-1$$

因此，日收益可以合成为月收益，月收益也可以合成为年度收益，但不能简单相加。复利的核心并不神秘：每一期的盈亏都会成为下一期的新本金。

这也解释了为什么亏损特别伤害长期增长：

亏损幅度	回到原点所需涨幅
-10%	+11.1%
-20%	+25.0%
-50%	+100.0%

亏损越深，回本越困难。控制重大亏损并不只是为了让净值曲线好看，而是在保护未来可以继续复利的本金。

年化收益把不同长度的投资放在同一时间尺度

累计赚 20% 是好是坏，要看用了多久。一年赚 20% 和五年总共赚 20%，显然不是同一种增长速度。若投资持续 $T$ 年，期初净值为 $V_0$、期末净值为 $V_T$，复合年化收益率为：

$$R_{ann}={\left(\frac{V_T}{V_0}\right)}^{1/T}-1$$

它的含义是：如果每年都以同一个速度复利增长，需要多高的年收益率才能从 $V_0$ 走到 $V_T$。例如，10 万元在三年后变成 12 万元，复合年化收益约为 6.3%，而不是把 20% 简单除以 3 后就结束。

日收益、月收益和年收益只是观察频率不同。用日数据时，一年交易日数常取 250 或 252；用月数据时通常按 12 个月换算。具体选哪个约定不是最重要的，重要的是比较对象必须使用同一频率、同一区间和同一种费用、分红口径。

年化收益描述历史增长速度，不是对未来的预测。只运行三个月的策略可能因为一次幸运上涨而显示很高的年化收益；样本越短，这个数字越不可信。

算术平均为什么会高估真实增长感受

“平均每期赚多少”有两种常见理解。

算术平均是把每期收益相加再除以期数。它描述一段历史中“典型一期”的平均表现。几何平均则把所有收益复合起来，描述本金真正实现的平均增长速度。前面“先涨 10%、再跌 10%”的例子中，算术平均为 0%，几何平均却约为 -0.5%，与最终亏损相符。

对于长期投资者，更值得关注的是几何平均和复合年化收益，因为本金只能沿一条真实路径增长。算术平均仍然有用：计算波动率、夏普比率等统计指标时会用到它。但不能用算术平均代替资金的复利增长率。

量化研究中还常见对数收益率：

$$r_t=\ln (1+R_t)$$

它的主要便利是多期对数收益可以直接相加，所以常用于统计建模。现阶段不需要把它当成另一套绩效标准：报告账户盈亏、合成组合收益时，简单收益率更直观；对数收益率也不能像简单收益率那样按资产权重直接加成组合收益。

途中可能亏多深

最大回撤最接近投资者的真实痛感

投资者真正难受的通常不是“收益每天有些变化”，而是账户从曾经达到的高点跌下来后，亏损越来越深。回撤就是当前净值相对之前最高净值的跌幅；一段历史中最深的那次，叫最大回撤。

假设净值依次为：

时点	净值	当时见过的最高净值	回撤
开始	1.00	1.00	0%
第1期	1.20	1.20	0%
第2期	1.08	1.20	-10%
第3期	0.90	1.20	-25%
第4期	1.05	1.20	-12.5%
第5期	1.22	1.22	0%

最深处是从 1.20 跌到 0.90，因此最大回撤为 25%。直到净值超过 1.20，之前的回撤才算完全修复。若以 $V_t$ 表示时点 $t$ 的净值，以 $H_t$ 表示截至当时见过的最高净值：

$$H_t=\underset{0\le u\le t}{max}{V}_u,D_t=\frac{V_t}{H_t}-1$$

最大回撤就是所有 $D_t$ 中最小的值；报告时通常写成正的损失幅度。除了“跌了多深”，还要看“多久才回来”。同样是 25% 最大回撤，三个月修复与三年修复，对资金安排和策略可信度的影响完全不同。

最大回撤有一个重要局限：它只告诉我们样本中已经发生过的最坏一次，不是未来损失上限。回测若刚好避开熊市，最大回撤会显得很好看；若只使用月末数据，还可能漏掉月中的大跌。

对个股组合，停牌股票沿用旧价格会暂时让回撤看起来较小，风险可能在复牌时一次兑现。对 ETF，市场价格短时大幅折价时，投资者实际经历的价格回撤可能深于基金净值回撤。评价实盘体验应看可交易价格，分析底层资产则要同时检查净值。

波动率回答的是“结果有多不稳定”

最大回撤只关注历史上最深的一段下跌，没有利用其他时期的信息。为了描述收益平时有多稳定，可以观察波动率：每期收益偏离平均收益的典型程度。

例如，下面两个策略的平均月收益都是 1%：

• 甲大多数月份在 0% 到 2% 之间。
• 乙经常在 +10% 和 -8% 之间摆动。

乙的未来结果显然更难估计，也更容易在复利过程中遭受较深损失，这就是波动率想捕捉的差别。科学上，波动率通常用等频收益的标准差计算；日波动率换算成年化波动率时，常用：

$${\sigma }_{ann}={\sigma }_{daily}\sqrt{K}$$

${\sigma }_{daily}$ 是日收益标准差，$K$ 是一年采用的交易日数。这个换算假设收益的统计特征大致稳定、日期之间没有很强的相关性。现实市场存在波动聚集、涨跌停和制度变化，因此它只是统一比较尺度的近似。

波动率并不等于所有风险。上涨很快也会增加波动率；财务造假、退市和无法卖出等风险，可能在发生前几乎不表现为日常波动。若只想关注低于某个目标的“坏波动”，可以计算下行风险：先指定最低可接受收益，例如 0 或同期低风险收益，只统计低于该目标的偏离。它比总波动更符合“只怕下跌”的直觉，但结果会随目标和数据频率改变。

这一章不需要在波动率和下行风险之间选出一个冠军。实用顺序是：先看最大回撤能否承受，再用波动率判断收益是否稳定；若策略收益明显不对称，再补充下行风险。

高胜率为什么仍然可能亏钱

胜率很容易让人产生安全感。10 次交易赢 8 次，听起来优于只赢 4 次的策略，但胜负次数没有告诉我们每次赢多少、输多少。

设盈利交易的比例为 $p$，平均每次盈利为 $\overline{W}$，平均每次亏损的绝对值为 $\overline{L}$。单笔交易的平均期望可以写成：

$$E=p\overline{W}-(1-p)\overline{L}$$

一个策略即使胜率为 80%，若平均每次盈利 1%，平均每次亏损 8%，期望仍是：

$$0.8\times 1\mathrm{\%}-0.2\times 8\mathrm{\%}=-0.8\mathrm{\%}$$

反过来，趋势策略可能多数交易小亏，依靠少数大行情获利，胜率不高却仍有正期望。**胜率必须和盈亏比一起看。**盈亏比就是平均盈利除以平均亏损绝对值。

这组指标适合解释策略靠什么赚钱，却不适合单独评价组合。分批买卖怎样算一笔、尚未平仓的亏损是否计入、每笔投入金额和持有时间是否相同，都会改变胜率。最终仍应回到账户净值：所有交易按真实资金权重、成本和时间组合后，钱是否增长。

这份收益真的是策略创造的吗

没有基准，就分不清能力与行情

假设一个选股策略一年赚了 15%，单看似乎不错；但若同一时期与其股票池匹配的指数上涨 30%，策略实际落后很多。反过来，策略亏损 5%，而基准下跌 20%，它虽然没有保住本金，却体现出相对抗跌能力。

基准就是一个事先选定的参照方案，代表“不使用这套策略时，可以获得的合理市场暴露”。每期策略收益减去同期基准收益，得到主动收益，也就是通常所说的超额收益：

$$A_t=R_{p,t}-R_{b,t}$$

$R_{p,t}$ 是组合第 $t$ 期收益，$R_{b,t}$ 是同期基准收益。超额收益为正，只表示这一期跑赢基准；它不自动证明存在稳定的选股能力。

选择基准时，关键不是挑最知名的指数，而是匹配策略实际投资的对象：

策略	更有意义的比较对象
沪深大盘股策略	与大盘股票池相近的宽基指数
中小盘选股策略	市值范围相近的中小盘指数
单一行业策略	对应行业指数，而不只是全市场指数
单只宽基 ETF	它实际跟踪的标的指数
多 ETF 配置或轮动	与可投资范围和长期风险目标匹配的配置基准

还要保证分红口径一致。含分红的策略与不含分红的价格指数比较，会把市场分红误算成策略能力；长期比较通常更适合使用全收益指数。第18章会详细讨论指数和 ETF，本章只需记住：基准选错，超额收益就失去解释意义。

三个比率只是三种压缩后的提问

当收益、波动、回撤和基准都已理解后，三个常见比率就不再是陌生公式。它们只是把“获得的收益”除以“某一种风险”，方便在相同口径下比较。

夏普比率：承担整体波动是否值得。 先用组合收益减去同期无风险收益，再除以这组超额收益的波动率。若使用日数据，常见年化形式为：

$$SR=\frac{\overline{R_p-R_f}}{\sigma (R_p-R_f)}\sqrt{K}$$

$R_p$ 是组合收益，$R_f$ 是与之同频的无风险收益，$\sigma$ 表示标准差。夏普比率越高，表示历史上每承担一单位总波动，获得的超额回报越多。它适合比较完整组合，但会把向上的波动也视为风险，而且无法直接告诉你最大回撤。

信息比率：偏离基准是否带来稳定回报。 它把平均主动收益除以主动收益的标准差：

$$IR=\frac{\overline{A}}{\sigma (A)}\sqrt{K}$$

$\sigma (A)$ 也称跟踪误差。信息比率适合评价指数增强或围绕明确基准运行的选股策略。若基准不匹配，这个比率也没有意义。对于被动 ETF，跟踪误差更多用于判断复制是否稳定，通常越小越好，而不是把信息比率当作主要选基标准。

卡玛比率：年化收益是否配得上最深回撤。

$$CR=\frac{R_{ann}}{|MDD|}$$

$|MDD|$ 是最大回撤的正数幅度。卡玛比率直观，适合关注回撤承受力的投资者，但它只使用一次最深回撤，对样本起止点非常敏感。

不要同时看见三个比率就认为需要选出“最科学”的那个。它们的问题不同：

想回答的问题	更直接的指标
整个组合的收益是否值得其日常波动	夏普比率
主动偏离基准后，是否稳定跑赢	信息比率
年化增长是否足以补偿历史最深回撤	卡玛比率

比率只能压缩历史，不能替代观察净值路径。收益分布可能极不对称，短样本可能没经历熊市，停牌价格还可能人为压低波动率。一个比率高，只值得继续研究，不足以证明策略未来有效。

评价策略时先看这五件事

完成一次回测后，不必立刻生成几十项指标。先按下面顺序回答五个问题：

1. 净值真实吗？ 分红、费用、无法成交和外部资金流是否已正确处理。
2. 钱增长多快？ 报告累计收益和复合年化收益，不用算术平均冒充复利。
3. 最坏经历怎样？ 报告最大回撤、发生区间和修复时间，再用波动率补充稳定性。
4. 是否真的优于替代方案？ 选择与股票池或 ETF 暴露匹配、分红口径一致的基准。
5. 优势来自哪里？ 结合胜率与盈亏比解释交易结构，再选择夏普、信息或卡玛比率回答最相关的风险问题。

个股组合还要警惕公司、行业和风格集中；ETF 组合则要穿透到底层指数，检查不同 ETF 是否重复持有相同成分股。持有多只 ETF 不等于自然分散。费用、跟踪偏离、折溢价和流动性也会使 ETF 的实际体验偏离指数。

最后，所有历史指标都依赖所选区间。至少要覆盖不同市场阶段，并检查提高交易成本或改变起止日期后结论是否仍然成立。后续因子检验和策略回测章节会进一步解决稳定性、样本外表现和收益归因；本章的任务，是先学会不被一个漂亮的累计收益迷惑。

本章小结

• 累计收益回答钱最终增加多少，复合年化收益回答历史上以多快的复利速度增长；年化数字不是未来承诺。
• 多期收益必须连乘。深度亏损会显著提高回本难度，因此保护本金也是保护未来复利能力。
• 最大回撤描述从历史高点跌得最深的一次，最接近投资者的持有压力；波动率补充说明收益平时是否稳定。
• 胜率只有结合盈亏比才有意义，高胜率策略仍可能因少数大亏而具有负期望。
• 基准用来区分市场行情和策略能力。基准必须匹配策略的股票池、行业、风格或 ETF 底层指数，并统一分红口径。
• 夏普、信息和卡玛比率分别回答总波动、主动风险和最大回撤是否得到足够回报；它们是辅助判断，不是策略质量证明。

至此，第一部分建立了“投资收益从哪里来、市场中可以买什么、交易能否实现、结果应怎样评价”的完整基础。下一章将进入公司基本面，从商业模式出发理解企业如何创造收入、利润与长期竞争力。